Área Do Triângulo E Quadrados: Questão Fuvest Resolvida

Hey pessoal! Vamos encarar juntos essa questão adaptada da Fuvest que envolve geometria plana. Preparem seus lápis e cadernos, porque vamos explorar um triângulo equilátero rodeado de quadrados e descobrir como calcular a área de figuras complexas. A questão nos apresenta uma figura com um triângulo ABC equilátero de lado 1, e três quadrados: ACDE, AFGB e BHIC, cada um adjacente a um dos lados do triângulo. Nossa missão é calcular a área total dessa figura. Parece complicado? Calma, vamos passo a passo!

Entendendo a Figura e o Problema

Primeiramente, vamos visualizar a figura. Imaginem um triângulo equilátero perfeito, com todos os lados iguais a 1. Agora, colem um quadrado em cada lado desse triângulo. Cada quadrado compartilha um lado com o triângulo, criando uma espécie de "flor" geométrica. O desafio é encontrar a área total dessa figura, ou seja, a soma das áreas do triângulo e dos três quadrados.

Para começar, vamos relembrar algumas fórmulas importantes para calcular áreas:

• Área de um triângulo: Podemos usar várias fórmulas, dependendo das informações que temos. As mais comuns são:
  • A = (base × altura) / 2
  • A = (a × b × senα) / 2 (onde a e b são lados e α é o ângulo entre eles)
  • A = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (Fórmula de Heron, onde p é o semiperímetro)
• Área de um quadrado: A = lado²

Calculando a Área do Triângulo Equilátero

No nosso caso, o triângulo ABC é equilátero e tem lado 1. Para calcular sua área, podemos usar a fórmula que envolve o seno do ângulo. Em um triângulo equilátero, todos os ângulos são iguais a 60 graus. Portanto, podemos usar a fórmula:

A = (a × b × senα) / 2

Onde a = 1, b = 1 e α = 60 graus. O seno de 60 graus é √3 / 2. Substituindo os valores:

A = (1 × 1 × (√3 / 2)) / 2 = √3 / 4

Então, a área do triângulo ABC é √3 / 4.

Calculando a Área dos Quadrados

Agora, vamos aos quadrados. Cada quadrado tem um lado igual ao lado do triângulo, que é 1. A área de um quadrado é simplesmente o lado ao quadrado:

A = lado²

Como o lado é 1, a área de cada quadrado é:

A = 1² = 1

Temos três quadrados, então a área total dos quadrados é 3 × 1 = 3.

Somando as Áreas

Para encontrar a área total da figura, basta somar a área do triângulo com a área dos três quadrados:

Área total = Área do triângulo + Área dos quadrados

Área total = (√3 / 4) + 3

Para deixar a resposta mais elegante, podemos combinar os termos:

Área total = (√3 + 12) / 4

E pronto! Calculamos a área total da figura.

Dicas Extras e Aplicações

• Fórmula de Heron: A Fórmula de Heron é uma ferramenta poderosa para calcular a área de um triângulo quando conhecemos os três lados. Ela é especialmente útil quando não temos informações sobre ângulos.
• Visualização: Desenhar a figura ajuda muito a entender o problema. Se você tiver dificuldades, tente desenhar a figura em um papel.
• Unidades: Como não foi especificado, a unidade de área é unidades de área (u.a.).

Questões Semelhantes

Para praticar, vocês podem procurar por questões que envolvam:

• Cálculo de áreas de figuras planas (triângulos, quadrados, retângulos, etc.)
• Uso de trigonometria para calcular áreas
• Problemas que combinam diferentes figuras geométricas

Conclusão

E aí, pessoal! Conseguimos resolver mais um problema de geometria plana. Lembrem-se, a chave é entender bem o problema, visualizar a figura e usar as fórmulas corretas. Com prática e dedicação, vocês vão dominar a geometria! Continuem estudando e explorando o mundo da matemática. Até a próxima!